一、这道定积分怎么做
该定积分问题可以这样分析计算。
1、运用不定积分法则
将被积函数（x²+(lnx)²）/x 分解成 x 和 (lnx)²/x 的积分和
2、运用幂函数积分公式，计算∫xdx，有
∫xdx=1/2x²
3、由于(lnx)'=1/x，运用凑微分的方法，将dx改写成d(lnx)，则
∫(lnx)²/xdx=∫(lnx)²d(lnx)=1/3(lnx)³
这里，lnx可以看成一个整体变量
4、最后进行定积分计算
计算过程如下：
二、定积分这题怎么做
为了计算这个定积分，我们可以使用一些基本的积分技巧。首先，我们有一个开方函数，它的被积函数是一个关于x的二次函数。为了求解这个积分，我们可以尝试将二次函数进行配方法变换，将其转化为更容易处理的形式。
给定：
∫[0, 10] √(10x - x^2) dx
我们可以将二次项配方：
10x - x^2 = x(10 - x) = 1 * (x^2 - 10x) = -(x^2 - 10x)。
接下来，我们为-(x^2 - 10x)配方:
-(x^2 - 10x) = -(x^2 - 10x + 25 - 25) = -(x^2 - 10x + 25) + 25 = -(x - 5)^2 + 25.
现在，我们可以将原来的积分重写为：
∫[0, 10] √(-(x - 5)^2 + 25) dx。
接下来，我们可以使用代数技巧，通过一个简单的变量代换求解积分。我们可以令：
u = x - 5.
因此，du/dx = 1，所以 dx = du。当x = 0时，u = -5；当x = 10时，u = 5.
现在，我们可以将原积分重写为：
∫[-5, 5] √(25 - u^2) du。
这是一个关于u的半圆形的积分。我们可以利用半圆的面积公式求解积分：
A = (1/2)πr^2，
其中r为半圆的半径。在这个例子中，r = 5，因此半圆的面积为：
A = (1/2)π(5^2) = (25/2)π。
所以，原积分的解为：
∫[0, 10] √(10x - x^2) dx = (25/2)π。
