【附】为方便编辑，特附“纯文本”如下。另外，文末提供有PPT照片版。
跃峰奥数PPT1代数组合1-5（研究特例特征迁移之分类因子）
【代数1-5】设f（x）是整系数多项式，如果存在整数i，使序列：i，f（i），
f（2）（i），f（3）（i），… 通过模n的完系，则称多项式f（x）是关于模n的完整多项式。求出所有的正整数k、n，使f（x）=kx是关于模n的完整多项式。（冯跃峰编题）
【题感】从目标看，求所有的正整数k，最朴素的方法是，一个个试验，归纳合乎要求的k的特征。
显然k≠1，又易知，k≠2（参见“代数1-4”）。于是，可先研究k=3、4的情形。
为叙述问题方便，称序列i，f（i），f（2）（i），f（3）（i），…为迭代序列。
【研究特例】当k=3时，f（x）=3x。再取n=3，4，5，6等进行试验。
当n=3时，对多项式f（x）=3x（mod 3），各迭代数列如下：
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 … 未染
1 3 3 3 3 3 3 3 … 2
2 3 3 3 3 3 3 3 … 1
3 3 3 3 3 3 3 3 … 1、2
所以，n=3不合乎要求。此时，关键元素不很明显，暂时跳过，再研究下一特例。
当n=4时，对多项式f（x）=3x（mod 4），各迭代数列如下：
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 … 未染
1 3 1 3 1 3 1 3 … 2、4
2 2 2 2 2 2 2 2 … 1、3、4
3 1 3 1 3 1 3 1 … 2、4
4 4 4 4 4 4 4 4 … 4以外
所以，n=4不合乎要求。此时，关键元素是4，模4的最大数。
这两个特例，迭代序列没有共同规律，似乎还难以发现其关键元素的共同属性是什么，所以我们再多考察几个特例。
当n=5时，对多项式f（x）=3x（mod 5），各迭代数列如下：
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 … 未染
1 3 4 2 1 3 4 2 … 5
2 1 3 4 2 1 3 4 … 5
3 4 2 1 3 4 2 1 … 5
4 2 1 3 4 2 1 3 … 5
5 5 5 5 5 5 5 5 … 5以外
所以，n=5不合乎要求。此时，关键元素是5，模5的最大数。
为找到关键元素的共同属性，我们将其与n=4的情形进行比较。
容易看出，n=4、5时，关键元素的属性相同：都是模n的最大数n。但n=3确是例外，需继续研究特例。
当n=6时，对多项式f（x）=3x（mod 6），各迭代数列如下：
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 … 未染
1 3 3 3 3 3 3 3 … 2
2 6 6 6 6 6 6 6 … 1
3 3 3 3 3 3 3 3 … 1
4 6 6 6 6 6 6 6 1
5 3 3 3 3 3 3 3 … 1
6 6 6 6 6 6 6 6 … 1
所以，n=6不合乎要求。猜想对任何正整数n，都没有相应的完整多项式。
为什么n=3、6时关键元素都是1或2？分块研究即可发现规律。
将每个迭代序列的第一项与后面的项分开，则可发现后面的项都是“3的倍数”，真正的关键元素是公因子“3”。
【分块研究】迭代数列从第二项起都是3的倍数（属性）。但不是3的倍数的数至少有两个，除首项外，至少还有一个不属于迭代数列。
于是，k=3时，n=3、4、5、6都不合乎要求。
如何证明k=3时，对任何正整数n，都没有模n的完整多项式？这迁移关键元素即可。
【迁移关键元素】当k=3时，对n=3、4、5、6，其关键元素的属性可以分为两类：
一类是“3的倍数”（n=3、6时）；另一类是“最大数”（n=4、5时）。
这一属性，可直接迁移到任意的正整数n：将n分为两类，3|n（对应于特例中的n=3、6），及3∤n（对应于特例中的n=4、5）。
【猜想】当k=3时，对任何正整数n，若3|n，则迭代数列从第二项起，都是3的倍数，没有通过模n的完系；若3∤n，则迭代数列或者没有n，或者全为n，没有通过模n的完系。
当得到结论后，证明是很简单的（常规思路），直接利用f的定义进行“计算”即可。
【猜想的证明】（1）若3|n，设迭代数列的某一项为i（1≤i≤n），则下一个项为
f（i）=3i（mod n）。
因为3≤3i≤3n，所以f（i）=3i（mod n）=3i、3i-n、3i-2n。
由于3|n，所以不论哪种情况，都有3| f（i）。
这表明，迭代数列从第二项起，都是3的倍数。从而1、2这两个数中至少一个不在迭代数列中，没有通过模n的完系。
（2）若3∤n，则当迭代序列的第一项是n时，第二项：f（n）≡3n≡0（modn）。如此下去，后面的项都是n，不能通过模n的完系；
若迭代序列的第一项是i（1≤i
假定f（i）=n，则0≡3i（modn），即n|3i，但（n，3）=1，所以n|i，与i
所以f（i）≠n，即1≤f（i）
上述结论是否适合任意正整数k的情形？这就要进一步研究关键元素3与k、n的关系。3与k的关系是什么？3恰好是k；3与n的关系是什么？——3是n的约数。
由此产生这样的猜想：对一般的k、n，当k|n时，关键元素是k；当k∤n时，关键元素是n。
现在还难以判断猜想是否正确，再用k=4的特例来检验。
【研究特例】当k=4时，取n=4、5、6、7、8，观察迭代数列不难发现：
如果n=4、6、8，则关键元素是偶数：迭代数列从第二个项起都是偶数；
如果n=5、7，则关键元素是n：迭代数列中，若第一个数是n，则每一个数都是n；如果若第一个数不是n，则每一个数都不是n。
如何归纳k=3、4的关键元素的共同属性？
一个明显的共同点是：都是将n为两类，使同类中关键元素的属性相同。
现在考察其分类标准是否可以统一，回答是肯定的。
考察k=4时的分类，n=4、6、8，则关键元素是偶数，也就是“2的倍数”。
这个“2”有何特征（充当怎样的角色）？——2是k、n的公约数。
这恰好符合k=3时，n为3的倍数那一类：3是k、n的公约数。
至于另一类，当然也可用k、n的公约数来判别，此时恰好为（k，n）=1。
【归纳结构特征】对任意的正整数k、n，迭代数列中的关键元素可以分为如下两类：
当（k，n）=1时，迭代数列或者没有n，或者全为n，没有通过模n的完系；
当（k，n）=d≠1时，则迭代数列从第二项起，都是d的倍数，没有通过模n的完系。
当得到结论后，证明是很简单的（与k=3的情形完全一致）。
【新写】将序列的每个项都换成关于模n的最小正剩余，问题不改变。
对任意一个多项式f（x）=kx，及任意一个正整数n，有如下两种情况：
（1）（k，n）=1。
若序列的第一项是n，那么，根据序列定义，后面的项都是n，不能通过模n的完系；
若序列的第一项是i（1≤i
假定f（i）=n，则n|ki，但（k，n）=1，所以n|i，矛盾。
所以f（i）≠n，即1≤f（i）
（2）（k，n）=d≠1。
考察迭代序列的任意一项，设为j（1≤j≤n），则下一项为：f（j）≡kj（modn），于是，
n|kj-f（j）。
因为（k，n）=d，则d|k，且d|n。又n|kj-f（j），所以d|kj-f（j），所以d|f（j）。
这表明，迭代序列从第二项起，都是d的倍数，没有通过模n的完系。
因为d∤1，d∤n-1，从而数1、n-1中至少有一个不在迭代序列中。
综上所述，不存在正整数k、n，使f（x）=kx是关于模n的完整多项式。
