【附】为方便编辑，特附“纯文本”如下。另外，文末提供有PPT照片版。
跃峰奥数PPT1代数组合1-4
（研究特例特征迁移之分块研究）
【代数1-4】设n（n≥3）是给定的自然数，记A={1，2，…，n}，又给定多项式f（x），其系数都是小于n的自然数，按下述规则对A中的数依次染色：如果某一次染色的数是i，则下一次染色的数是f（i），其中的数按模n理解（即大于n的数换成模n的正余数）。如果可适当选取第一次染色的数，按上述规则经过n次染色后，A中的所有数都被染色，则称多项式f（x）是关于模n的完整多项式，此时，A中的数按染色的先后顺序排成的序列称为完整序列。
（1）试问：是否存在正整数n，使f（x）=2x是关于模n的完整多项式？
（2）是否存在正整数k、b、n（k≥2，n≥3），使f（x）=kx+b是关于模n的完整多项式？（冯跃峰编题）
【题感】从操作规则看，如果某次对i染色，则下次染色的数为f（i）。
由此可见，如果第一次染色的数是i，则所有染色的数依次为
i，f（i），f（2）（i），f（3）（i），…，我们称之为染色数列。
从条件看，题目给定了多项式f（x）=2x，于是，从i开始染色的染色数列为：i，2i，22i，23i，…。
从目标看，所关心的是：能否有某个染色数列包含1，2，…，n。
由于n是给定的，但又不是具体数，可先研究特例。
【研究特例】当n=3时，所有染色数列如下（mod 3）：
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 … 未染
1 2 1 2 1 2 1 2 … 3
2 1 2 1 2 1 2 1 … 3
3 3 3 3 3 3 3 3 … 3以外
所以，n=3不合乎要求。
（观察各染色数列，发现关键元素是最大数3：要么不染3，要么只染3）。
当n=4时，各染色数列如下：
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 … 未染
1 2 4 4 4 4 4 4 … 3（奇）
2 4 4 4 4 4 4 4 … 1（奇）
3 2 4 4 4 4 4 4 … 1（奇）
4 4 4 4 4 4 4 4 … 1（奇）
所以，n=4不合乎要求。
这两个特例，染色序列没有共同规律，似乎还难以发现其关键元素的共同属性是什么，所以我们再多考察两个特例。
当n=5时，染色数列如下：
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 … 未染
1 2 4 3 1 2 4 3 … 5
2 4 3 1 2 4 3 1 … 5
3 1 2 4 3 1 2 4 … 5
4 3 1 2 4 3 1 2 … 5
5 5 5 5 5 5 5 5 … 5以外
当n=6时，染色数列如下：
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 … 未染
1 2 4 2 4 2 4 2 … 3（奇）
2 4 2 4 2 4 2 4 … 3（奇）
3 6 6 6 6 6 6 6 … 1（奇）
4 2 4 2 4 2 4 2 1（奇）
5 4 2 4 2 4 2 4 … 1（奇）
6 6 6 6 6 6 6 6 … 1（奇）
所以，n=6不合乎要求。
猜想对任何正整数n，都没有相应的完整多项式。
如何归纳各特例关键元素的共同属性？各关键元素没有统一的属性。但为两类：n为奇数与n为偶数，则其关键元素的共同属性非常明显。
【分块研究】当n为奇数（3和5）时，其关键元素显然是最大数n（属性：最大）：要么染色数列中不含数n（此时其他数构成一个循环圈）；要么染色数列中全为n（此时数n单独构成一个循环圈）。
而当n为偶数4、6时，其关键元素还比较隐蔽，但若再一次采用分块研究：画一条铅直线把第一项与后面的项分开，则可发现此时的关键元素是“偶数”：染色数列从第二项起都是偶数（属性：偶数），从而被染色的数至多第一个数为奇数。
将上述关键元素迁移到一般情况中，便可完成解答。
下面考虑问题（2）：是否存在正整数k、b、n（k≥2，n≥3），使f（x）=kx+b是关于模n的完整多项式？
这里只要求判断是否存在相应的正整数，如果是肯定的，找一组正整数就可以了。因而可尝试一些简单的正整数。
容易发现，如果不限定k>1，则当（b，n）=1时，（k，b，n）=（1，b，n）合乎要求。
实际上，对于f（x）=x+b，其以i为首项的染色序列为：
i，i+b，i+2b，…，i+（n-1）b，
又（b，n）=1，所以i，i+b，i+2b，…，i+（n-1）b构成模n的完系，从而f（x）=x+b是关于模n的完整多项式。
对于k>1，我们曾猜想：关于模n的完整多项式：f（x）=kx+b不存在，但这一猜想是错误的，比如，我们有如下反例：当n=9时，f（x）=7x+4是关于模9的完整多项式，相应的完整序列为：1，2，9，4，5，3，7，8，6。
【新写】（1）我们证明，任何正整数n都不合乎要求。
考察任意一个正整数n，分两种情况讨论：
（i）当n为奇数时，设第一次染色的数是i（1≤i≤n）。
若i=n，那么，根据规则，下一个染色的数是2n≡n（modn），从而后面染色的数都是n，其他数都无法被染色；
若1≤i
实际上，根据规则，第二次染色的数：f（i）=2i或2i-n。
若f（i）=n，则2i=n或者2i-n=n，于是，n为偶数，或者n=i，都与假设矛盾，所以f（i）≠n。
如此下去，数n永远无法被染色，从而n不合乎要求。
（ii）当n为偶数时，设第一次染色的数是j（1≤j≤n）。
显然，第二次染色的数：f（j）=2j或2j-n。
因为n为偶数，所以2j、2j-n都是偶数，所以f（j）为偶数。
如此下去，被染色的数最多除第一个外都是偶数。
又n≥3，从而数1、3都在1，2，…，n中，从而至少有一个奇数永远无法被染色，所以n不合乎要求。
综上所述，不存在正整数n，使f（x）=2x是关于模n的完整多项式。
（2）当n=9时，f（x）=7x+4是关于模9的完整多项式，相应的完整序列为：
1，2，9，4，5，3，7，8，6。
由上面的解答，自然可提出如下的一些问题。
问题1：求所有的正整数k、b、n（k≥2，n≥3），使f（x）=kx+b是关于模n的完整多项式。
估计此题的容量较大，我们可以先研究它的如下特例：
问题2：求出所有的正整数k、b，使f（x）=kx+b是关于模9的完整多项式。
对此特例，我们已经知道，（k，b）=（1，1），（1，2），（1，4），（1，5），（1，7），（1，8），（7， 4）都合乎要求。
更一般地，我们可提出如下的
问题3：设f（x）是整系数多项式，如果存在整数i，使序列i，f（i），f（2）（i），f（3）（i），…，通过模n的完系，则称多项式f（x）是关于模n的完整多项式。对给定的正整数n（n≥3），求出所有关于模n的完整多项式f（x）。
不难看出，问题3是一个难度相当大的问题，希望读者能获得一些相关结果。
