【附】为方便编辑，特附“纯文本”如下。另外，文末提供有PPT照片版。


跃峰奥数PPT1代数组合2-4

（研究特例归纳通式之二维通式）


【代数2-4】设定义在有序正整数对上的函数f满足如下条件：

（1）f（x，x）=x；

（2）f（x，y）=f（y，x）；

（3）（x+y）f（x，y）=yf（x，x+y）。

求f（x，y）。（冯跃峰编题）

【题感】从目标看，由于关系式复杂，难以“解”方程求通式。

只能先研究特例（适当赋值），寻找规律。

【研究特例】在（1）中令x=y=1，2，…，n，得f（1，1）=1，f（2，2）=2，…，f（n，n）=n。

进而由（3），有f（1，2）= 1·f（1，1+1）=（1+1）f（1，1）=2，

如此下去，由数学归纳法可知，f（1，n）=n。

下面讨论f（2，n）=？这可先将条件（3）改为常见的递归方式。

【建立递归】将（3）得变形为f（x，x+y）=(x+y)/y f（x，y），

所以，f（2，3）=f（2，2+1）=(2+1)/1 f（2，1）=3 f（1，2）=3·2=6，

f（2，4）=f（2，2+2）=(2+2)/2 f（2，2）=2·2=4，

f（2，5）=f（2，2+3）=(2+3)/3 f（2，3）=(2+3)/3·6 =10，…

整体序列没有规律，但分解为两个子列，则有明显规律。

【子列通式】由数学归纳法可知，f（2，n）= {(2n (n为奇)，@n (n为偶)。)┤

下面寻找该分段函数的统一解析式（序号表示，同构表示）。

先考虑“序号”表示，其中f（2，n）=2n（n为奇）合乎要求。而f（2，n）=n（n为偶）可用“2、n”表示为f（2，n）=2n/2（n为偶）。

再考虑同构表示，需将f（2，n）=2n（n为奇）改进为分式形式：f（2，n）=2n/1（n为奇）。

接着又考虑“序号”表示，其中的分母“1”、“2”都要用2、n表示为g（2，n），其中g（2，n）=1（n为奇），g（2，n）=2（n为偶）。

合乎上述要求的g（2，n）是什么？——若一下还难以发现，则再跳跃地（x、y同时增加）实验几个特例：

【研究特例】f（3，5）=f（3，3+2）=(3+2)/2 f（3，2）=5/2·f（2，3） =5/2·6=15= (3×5)/1。

f（4，6）=f（4，4+2）=(4+2)/2 f（4，2）=3·f（2，4） =3·4=12= (4×6)/2。

【归纳通式】由此可以猜想：f（x，y）= xy/(（x，y）) =[x，y]。

【证明“纯粹性”】记满足条件（1）（2）（3）的函数f（x，y）的集合为A，函数f（x，y）=[x，y]的集合为B，我们证明A⊆B：即f（x，y）=[x，y]满足条件（1）（2）（3）。

实际上，因为对任何正整数a、b，有[a，b]= ab/(（a，b）)，于是

（3）式左边=（x+y）f（x，y）=（x+y）[x，y] = （x+y）xy/(（x，y）)=(xy(x+y))/(（x，y）)。

其中注意将[x，y]换成xy/(（x，y）)，是因（x，y）可利用“辗转相除法”公式进行变换。

（3）式右边=yf（x，x+y）= y[x，x+y]=y·(x(x+y))/(（x，x+y）)=y·(x(x+y))/(（x，y）)=(xy(x+y))/(（x，y）)，

所以条件（3）满足。而（1）（2）显然满足。

【证明“完备性”】B⊆A：即函数f（x，y）满足（1）（2）（3），则必有f（x，y）=[x，y]。

注意到递归关系：f（x，x+y）=(x+y)/y f（x，y），无法由f（x，y）得到f（x+1，y），但由f（x+y，y）可得到f（x，y），其中x'+y'由（x+y）+y变成x+y，其值减少，所以可对x+y归纳（成批归纳法）。

【分批归纳法】当x+y=2时，x=y=1，此时f（x，y）= f（1，1）=1=[1，1] =[x，y]，结论成立。

设x+y

当x+y=k时，由对称性，不妨设x≤y。

若x=y，则f（x，y）= f（x，x）=x=[x，x] =[x，y]，结论成立。

若x

【增量代换】令y-x=z，则y=x+z

f（x，y）=f（x，x+z）=（递归关系）(x+z)/zf（x，z）

=（归纳假设）(x+z)/z [x，z] =(x+z)/z·xz/(（x，z）)

=(x(x+z))/(（x，z）)=xy/(（x，x-y）)=xy/(（x，y）)= [x，y]，结论成立。

综上所述，所求的f（x，y）= [x，y]。

【新写】我们证明：f（x，y）=[x，y]。

先证明f（x，y）=[x，y]满足条件（1）（2）（3）。

实际上，（3）式左边=（x+y）f（x，y）=（x+y）[x，y] = （x+y）xy/(（x，y）)=(xy(x+y))/(（x，y）)。

（3）式右边=yf（x，x+y）= y[x，x+y]=y·(x(x+y))/(（x，x+y）)=y·(x(x+y))/(（x，y）)=(xy(x+y))/(（x，y）)，

所以条件（3）满足。而（1）（2）显然满足。

再证明：若函数f（x，y）满足（1）（2）（3），则必有f（x，y）=[x，y]。

对x+y归纳。当x+y=2时，x=y=1，此时f（x，y）= f（1，1）=1=[1，1] =[x，y]，结论成立。

设x+y

若x=y，则f（x，y）= f（x，x）=x=[x，x] =[x，y]，结论成立。

若x

f（x，y）=f（x，x+z）=(x+z)/zf（x，z）=(x+z)/z [x，z] =(x+z)/z·xz/(（x，z）)

=(x(x+z))/(（x，z）)=xy/(（x，x-y）)=xy/(（x，y）)= [x，y]，结论成立。

综上所述，所求的f（x，y）= [x，y]。