【附】为方便编辑，特附“纯文本”如下。另外，文末提供有PPT照片版。
【构造3-9】证明：一个单位正方形可以被分割为有限个与1×（3+∛3）型长方形相似的长方形（不要求这些长方形都全等）。（2020年泰国竞赛题）
【题感】从条件看，数据“3+∛3”比较怪异，这么一个无理数有什么讲究呢？可以这样设想：如果将这个奇怪的数据改为任何一个有理数，则问题是平凡的。这自然想到，应将“3+∛3”经过适当的转换，使之变成一个有理数。
应如何转换呢？一时找不到头绪，不妨先看看目标。
从目标看，属于构造问题，只需找到一种合乎要求的分割即可。这当然可找一个充分条件（无需穷举所有分割），使单位正方形容易分割。进一步，只需存在任一正方形容易分割（将正方形适当放缩到单位正方形即可）。
由于正面分割比较困难，我们可从反面思考，由若干好矩形拼合成正方形。
为方便拼合，可找一个充分条件，让好矩形都有一条边长相等。特别地，期望若干个1×t（t∈R）型好矩形拼成1×n矩形，其中n∈N+。
为叙述问题方便，我们先引入一些定义。
【下定义】令p=3+∛3，如果一个矩形可以分割为若干个与1×p矩形相似的矩形，则称之为“好矩形”。
如果1×a矩形是好矩形，则称a为“好数”。
如果好数a1，a2，…，am，经过运算f，得到的数f（a1，a2，…，am）为“好数”，则称运算f是“合适”的，否则为“不允许”的。
【反向分割】我们期望从好数p出发，经过一系列的合适运算，得到一个正整数好数，然后拼成一个好矩形。
为了便于拼合，需要先确定哪些运算是合适的。
【发掘性质】性质1：数乘运算是合适的。若a是好数，则ka（k∈N+）也是好数。
进一步，线性组合运算也是合适的。
拓广：对任何不全为0的自然数k1，k2，…，km，若a1，a2，…，am是好数，则k1a1+k2a1+…+kmam也是好数。
为了发现其它合适的运算，我们可通过位似变换来构造相似矩形。
设a是好数，构造一个1×a的好矩形，通过位似变换，容易在原矩形内部找到与其相似的好矩形。取这个相似矩形的一条边长为1，则另一条边长为1/a。
由此得到如下的
性质2：“取到数”运算是合适的。如果a为好数，则1/a也为好数。
下面考虑，能否对p反复进行上述两个合适运算，最终得到一个正整数。这可采用拟对象逼近策略：先通过一些运算（包括一些不允许的），得到一个正整数，进而将其中不允许的运算替换为合适的。
【拟对象逼近】令p=3+∛3，则（p-3）3=3（变成正整数）。
其中包含两种“不允许”的运算：减3、立方。设法将其替换为合适的运算，这就要将左边展开，适当变形。
进而有p3-9p2+27p-27=3，
去掉“不允许”的“减法”运算，得p3+27p=9p2+30。（*）
至此，推理受阻。我们回头尝试发掘一些衍生性质。
【衍生性质】记所有好数的集合为H，则p∈H，进而由性质2，有1/p∈H。再由性质1，对任何不全为0的自然数m、n，有mp+n/p∈H。
又由性质2，有1/(mp+n/p)∈H，即p/(mp^2+n)∈H。
由此想到，期望（*）式两边分解因式，进而通过“取倒数”运算，产生形如“p/(mp^2+n)”的好数。
由（*），得1=(p^3+27p)/(9p^2+30)，所以，
9=(〖9p〗^3+243p)/(9p^2+30)（凑分子分母的首项系数相同）=p+71p/(3p^2+10)（分离整数部分）= p+71/(3p+10/p)（去掉不合适运算：“平方”、“加10”）。
因为p∈H、71/(3p+10/p)∈H，所以9∈H，命题获证。
【新写】用M=a×b表示两边分别为a、b的矩形M。令p=3+∛3，如果一个矩形可以分割为若干个与矩形A=1×p相似的矩形，则称之为“好矩形”。
显然，与好矩形相似的矩形都是好矩形，这是因为将好矩形按要求进行分割，然后按适当的比例进行放缩便得到与其相似的矩形的分割。
因为矩形A=1×p是好矩形，所以与A相似的矩形B=1×1/p是好矩形。进而矩形C=1×（3p+10/p）是好矩形，这是因为它可分割为3个矩形A和10个矩形B。
因为矩形D=1×1/(3p+10/p)与矩形C=1×（3p+10/p）相似，所以D是好矩形。
由p=3+∛3，得9= p+71/(3p+10/p)，所以矩形E=1×9可以分割为一个矩形A=1×p与71个矩形D=1×1/(3p+10/p)，所以矩形E是好矩形，进而9×9正方形是好矩形。最后按比例1:9将9×9正方形缩小到单位正方形，可知单位正方形是好矩形，命题获证。
