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跃峰奥数PPT1代数组合1-1（研究特例特征迁移之关键元素）
什么是组合问题，它没有统一的定义，大致来说，涉及离散性质的问题统称为组合问题。
这些问题包括：存在性、唯一性、构造、涉及、布局、优化等。它的一个基本特征是：不需要太多的数学知识，但对思维层次有较高的要求。
粗略地讲，组合问题可以概括为“5+3”：即5个方面内容和3类典型问题（也就是本系列讲座中的8个板块）。
以代数知识为主体的组合问题称为代数组合问题。所含的代数知识通常是代数关系（数量关系、从属关系等）与代数运算（数值运算、集合运算等）两个方面。
本讲介绍代数组合中常用的一种思维方法：研究特例。
所谓研究特例，就是先考察特殊情况，由此发现规律，寻找解决一般问题的途径。它有如下三种表现形式：
（1）特征迁移：所谓“特征”，不是具体数值或元素，而是元素具有的功能与属性，即在所有元素中充当的“角色”。它包括三种常见方式：迁移关键元素、迁移步骤、迁移关键子列。
（2）归纳通式：适合所有对象的“统一”表达式，它包括三种常见方式：解析式、特征式（对象特征描述的通式）、结构式（各元素相互关系的一般表示）。
（3）建立递归：寻找问题在相关参数等于“n”的情形与“小于n”的若干情形之间的关系。
【代数1-1】在n2×n2×n2立方体棋盘上放n5只棋，使每行（从左到右的n个格）、每列（从前到后的n个格）、每柱（从上到下的n个格）都恰有n只棋，求n的所有可能值。（冯跃峰编题）
【题感】首先要强调的是，读数学题与读小说是有区别的。读小说可以一目十行，读数学则需要字字斟酌。比如，本题就有同学提出疑问：每行、每列、每柱都有n只棋，棋盘不是全占满了吗？
究其原因，是误认为本题是n×n×n棋盘——读题有风险，理解需谨慎！
从目标看，要求“每行、每列、每柱都恰放n只棋”，由于棋子太多，想到分割策略——
将“每行、每列、每柱”都分割为n段，每段n个格（图1），这样，只需每段放一只棋（放一只棋比放n只棋简单得多）。
分割不难：以均匀分割最简单，但分割后如何放棋？
直接考虑一般情形比较困难，可先研究特例。
【研究特例】考虑n=2，此时4×4×4立方体棋盘上放25=32只棋，每行、每列、每柱都恰有2只棋。
将“每行、每列、每柱”都均匀分割为2段，每段2个格，然后在每段都放一只棋。
如何步子？此时很简单：4×4×4立方体被分割为2×2×2的“大块”，每个大块都是2×2×2的立方体，只需每个“大块”的每行每列每柱一只棋，取其中一个代表放棋即可。
【局部扩展】先考虑“大块”上面一层的2×2棋盘（图2），每行每列每柱一只棋，放在对角即可。再考虑“大块”下面一层的2×2棋盘，棋放在另一对角即可。
当n较小时，这样画图构造是可行的，但对一般情形就不方便了。
在一般情形中，为了描述棋子放在哪些格，需要将格编号（类似于建立坐标系）。
用（i，j，k）表示n×n×n立方体棋盘的那样一个格（图3）：它位于从左到右第i个格，从前到后的第j个格（i，j是每个水平层），从上到下的第k个格（铅直分为k层），则放棋的格为：（1，1，1），（2，2，1），（1，2，2），（2，1，2）。
这些格的分布有何规律？换句话说，在一般情形中如何找到类似的格？
——其规律通常从两个方面去发掘。
一是顺序刻画（字典排法）：依次考察每一行棋子的位置。比如，第1行的棋子位于…，第2行的棋子位于…等等。（本题用此法较繁）
二是借助序号函数：对于放棋子的格（i，j，k），它们的函数值f（i，j，k）具有共同的性质。（通常优先考虑此方法，但函数难以发现）
【序号函数】引入序号函数f（i，j，k），研究放子格的函数值的特征，其中f待定。
【以简驭繁】最简单的函数是多项式函数，我们先尝试函数f（i，j，k）=i+j+k。
此时，对上述放棋的格，其函数值分别为3，5，5，5。
其共同特征是：都为奇数。于是，将序号函数修改为f（i，j，k）=i+j+k（mod2），则上述放棋的格（i，j，k）都满足i+j+k≡1（mod2）。
【特征迁移】n×n×n棋盘的所有满足i+j+k≡1（modn）的格（i，j，k）都放一棋，则“每行、每列、每柱”都恰有一只棋（角色：n是棋盘的阶）。
以n=3进行验证（图4）。先看第一层的格（i，j，1），满足i+j+1≡1（mod3），即i+j≡0（mod3）的格为（1，2，1），（2，1，1），（3，3，1）。
再看第二层的格（i，j，2），满足i+j+2≡1（mod3），即i+j≡2（mod3）的格为（1，1，2），（2，3，2），（3，2，2）。
最后看第三层的格（i，j，3），满足i+j+3≡1（mod3），即i+j≡1（mod3）的格为（1，3，3），（2，2，3），（3，1，3）。
其中行、列布子显然合乎要求，穷举各“柱”，布子也合乎要求。
迁移到一般情形，问题迎刃而解。
【新写】我们先证明如下的引理：
n×n×n立方体棋盘，可放n2只棋，使每行、每列、每柱都恰有1只棋。
实际上，用（i，j，k）表示n×n×n立方体棋盘的那样一个格：它位于从左到右第i个格，从前到后的第j个格（i，j是每个水平层），从上到下的第k个格（第k层），将所有满足i+j+k≡1（modn）的格（i，j，k）都放一子，则容易验证布子满足条件。
比如，考察任意一柱，设其与上底面交于格（i0，j0，1），则其n个格为：（i0，j0，1），（i0，j0，2），…，（i0，j0，n），由于i0+j0+1，i0+j0+2，…，i0+j0+n是模n的完系，其中只有一个数模n余1，于是，该柱中恰有一只棋。
同样可知，每行、每列中都恰有1只棋。
将n2×n2×n2立方体棋盘分割为n3个n×n×n的小立方体棋盘，由引理，可对每个n×n×n的小立方体棋盘布子，使每个n×n×n的小立方体棋盘的每行、每列、每柱都恰有1只棋。
因为n2×n2×n2立方体棋盘的每一行都恰好与n个n×n×n的小立方体棋盘有公共格，从而n2×n2×n2立方体棋盘的每一行都恰有n只棋。同样，n2×n2×n2立方体棋盘的每列、每柱都恰有n只棋。
综上所述，所有正整数n都合乎要求。
