【附】为方便编辑，特附“纯文本”如下。另外，文末提供有PPT照片版。
跃峰奥数PPT1代数组合1-6（研究特例特征迁移之函数结构）
【代数1-6】给定n∈N+，k∈Z，令x=kπ/2n，Xn={cos2x，cos22x，cos23x，…，cos2nx}。对Xn的任何非空子集A，令T（A）是A中所有数之积，求S=Σ┬(A⊆X_n )〖T(A)〗。（冯跃峰编题）
【题感】从目标看，一般情形难于计算，“求和”很复杂，也不易理解，不妨从特例开始。这既有助于理解题意，也能帮助我们发现规律。
【研究特例】先考虑n=3的情形，此时X3={ cos2x，cos22x，cos23x}的所有子集为：{ cos2x}，{ cos22x}，{ cos23x}，{ cos2x，cos22x}，{ cos2x，cos23x}，{ cos22x，cos23x}，{ cos2x，cos22x，cos23x}。于是，
S=Σ┬(A⊆X_3 )〖T(A)〗=cos2x+cos22x+cos23x+cos2xcos23x+ cos2xcos23x+ cos22xcos23x+ cos2xcos22xcos23x。
具体数字有时反而会干扰思维，将其用字母表示更能显露一般性。
这里，可用a、b、c分别代替cos2x、cos22x、cos23x。
【同构问题】考察S=Σ┬(A⊆X_3 )〖T(A)〗=a+b+c+a×b+a×c+b×c+a×b×c。
如果你熟悉多项式运算，则马上发现它是我们的老朋友。即使一下没有发现，将每一项配齐为“三个因子之积”后，即可发现特殊的运算结构。
【配齐】S=1×1×a+1×1×b+1×1×c+1×a×b+1×a×c+1×b×c+a×b×c。
由此，你发现了什么？
【结构联想】由多项式乘法法则，容易发现：S=（1+a）（1+b）（1+c）-1。
多个多项式，不能采用中学介绍的逐一相乘方式，而要采用“代表项”求和的方式。
一般地，（a1+b1）（a2+b2）…（an+bn）=Σ代表项（f1f2…fn）=Σ┬(f_i∈{a_i,b_i}@1≤i≤n)〖f_1 f_2…f_n 〗。（*）
在（*）式中令bi=1，得（a1+1）（a2+1）…（an+1）=Σ┬(f_i∈{a_i,1}@1≤i≤n)〖f_1 f_2…f_n 〗。
现在只需建立当前“求和”代表项：f1f2…fn与题目中“求和”代表项：T（A）（A⊆X_n）之间的联系。
（1）当所有fi=1时，f1f2…fn=1；
（2）当所有t（1≤t≤n）个i，使fi=ai时，
Σ┬(〖t个i使f〗_i=a_i@1≤i≤n)〖f_1 f_2…f_n 〗=Σ┬(1≤i_1
Σ┬(A⊆X_n )〖T(A)〗=∑_(t=1)^nΣ┬(|A|=t，A⊆X_n )〖T(A)〗 =（a1+1）（a2+1）…（an+1）-1。
上面的表述比较繁琐，引入辅助函数，则可使表述简单规范。先从n=3入手。
基本想法：将运算结果“（1+a）（1+b）（1+c）-1”看成是某个函数在x=1时的函数值，想到构造相应的多项式函数f（x）。进而通过函数运算，建立f（x）与S=Σ┬(A⊆X_n )〖T(A)〗的联系。
【函数观点】构造多项式函数：f（x）=（x+a）（x+b）（x+c）-1。
为建立f（x）与S=Σ┬(A⊆X_3 )〖T(A)〗的联系，先将多项式展开，产生所需要的T（A）（A⊆X_3）。
展开，得
f（x）=x3+（a+b+c）x2+（a×b+a×c+b×c）x+ a×b×c-1。
其中a+b+c= T（A）（|A|=1，A⊆X_3），
a×b+a×c+b×c= T（A）（|A|=2，A⊆X_3），
a×b×c= T（A）（|A|=3，A⊆X_3），于是，
f（x）=x3+Σ┬(|A|=1，A⊆X_3 )〖T(A)〗x3-|A|+Σ┬(|A|=2，A⊆X_3 )〖T(A)〗x3-|A|+Σ┬(|A|=3，A⊆X_3 )〖T(A)〗x3-|A|-1
=x3-1+Σ┬(A⊆X_3 )〖T(A)〗x3-|A|。
令x=1，得（1+a）（1+b）（1+c）-1=Σ┬(A⊆X_3 )〖T(A)〗。
将之直接推广到一般情形，便得原题解答（平凡推广）。
【结构特征迁移】对Xn={a1，a2，…，an}，
令f（x）=（xn-1） +Σ┬(A⊆X_n )〖T(A)〗xn-|A|。
为建立f（x）与S=Σ┬(A⊆X_n )〖T(A)〗的联系，先将多项式展开，产生所需要的T（A）（A⊆X_n）。
【化简】按|A|的取值分类展开，得
f（x）=（xn-1）+（a1+a2+…+an）xn-1+xn-2Σ┬(1≤i
+xn-3Σ┬(1≤i
由多项式乘法法则，得
f（x）=（x+a1）（x+a2）（x+a3）…（x+an）-1。
以上实际上就是我们在初中阶段就“烂熟于心”的代数变形：先化简，后求值。
【解答原题】取ai= cos2ix，则S=Σ┬(A⊆X_n )〖T(A)〗= f（1）
=（1+a1）（1+a2）（1+a3）…（1+an）-1= ∏_(i=1)^n〖(1+cos2^i x)〗-1
= ∏_(i=1)^n〖2cos^2 〖(2〗^(i-1) x)〗-1（倍角公式）=2n（∏_(i=1)^n〖cos2^(i-1) x〗）2-1（分离常数）。
对于∏_(i=1)^n〖cos2^(i-1) x〗，是典型的计算问题，采用“倍角配偶”即可。
【倍角配偶】cosxcos2xcos22xcos23x…cos2n-1x
= (sinxcosxcos2xcos2^2 xcos2^3 x…cos2^(n-1) x)/sinx 。
以上运算“合法”吗？注意x=kπ/2n，sinx可能为0，先应处理这一特款，代数变形中要特别注意出现“0”，切忌“先斩后凑”。
当sinx=0时，kπ/2n=x=tπ，此时k/2n=t，即2n|k，以此为标准分类讨论。
（1）当2n|k时，令k=2nt，则x=kπ/2n=tπ，cos2i-1x=±1，（∏_(i=1)^n〖cos2^(i-1) x〗）2=1，此时S=2n-1；
（2）当2n∤k时，S=2n（(2^n sinx∏_(i=1)^n〖cos2^(i-1) x〗)/(2^n sinx)）2-1=2n（(sin2^n x)/(2^n sinx)）2-1= ((sin2^n x)^2)/(2^n 〖sin〗^2 x)-1=-1。
【注】上述母函数f（x）=（xn-1） +Σ┬(A⊆X_n )〖T(A)〗xn-|A|中，若将“减数1”换成xn，结论同样成立，此时母函数的表现形式更简单：
f（x）=（x+a1）（x+a2）（x+a3）…（x+an）-xn =Σ┬(A⊆X_n )〖T(A)〗 xn-|A|。
【新写】对Xn={a1，a2，…，an}，令f（x）=（xn-1） +Σ┬(A⊆X_n )〖T(A)〗xn-|A|
= （xn-1）+（a1+a2+…+an）xn-1+xn-2Σ┬(1≤i
+xn-3Σ┬(1≤i
=（x+a1）（x+a2）（x+a3）…（x+an）-1，
取ai= cos2ix，则S=Σ┬(A⊆X_n )〖T(A)〗= f（1）
=（1+a1）（1+a2）（1+a3）…（1+an）-1= ∏_(i=1)^n〖(1+cos2^i x)〗-1
= ∏_(i=1)^n〖2cos^2 〖(2〗^(i-1) x)〗-1=2n（∏_(i=1)^n〖cos2^(i-1) x〗）2-1。
当2n|k时，令k=2nt，则x=kπ/2n=tπ，cos2i-1x=±1，此时S=2n-1；
当2n∤k时，S=2n（(2^n sinx∏_(i=1)^n〖cos2^(i-1) x〗)/(2^n sinx)）2-1=2n（(sin2^n x)/(2^n sinx)）2-1= ((sin2^n x)^2)/(2^n 〖sin〗^2 x)-1=-1。
注：上述母函数中将“减数1”换成xn，结论同样成立，此时母函数的表现形式更简单：
f（x）=（x+a1）（x+a2）（x+a3）…（x+an）-xn =Σ┬(A⊆X_n )〖T(A)〗 xn-|A|。
