【附】为方便有需要者编辑，特附纯文本如后。另外，文末提供有PPT照片版。
【代数6-5】对整数n≥2，令F（n）=∑_(k=1)^∞〖（2k-1）!!〖[C〗_(n-1)^(2k-2) 〖-nC_(n-2)^(2k-1)-C〗_(n-2)^2k]〗，试证：F（n）=1。（原创题）
【题感】由于和式中代表项非常复杂，想到对之适当变形，以发掘其中隐藏的某种规律。
注意到C_(n-2)^(2k-1)、C_(n-2)^2k下标相同，想到将其上标变为相同，观察其是否有新的特点。
注意，如果是计算题，则可研究特例，猜出结果，然后转化为恒等式的证明。
F（2）=∑_(k=1)^∞〖（2k-1）!!〖[C〗_1^(2k-2) 〖-2C〗_0^(2k-1) 〖-C〗_0^2k]〗=（C10-0-0）=1。
F（3）=∑_(k=1)^∞〖（2k-1）!!〖[C〗_2^(2k-2) 〖-3C〗_1^(2k-1) 〖-C〗_1^2k]〗
=（C20-3C11-0）+3（C22-0-0）=1-3+3=1。
F（4）=∑_(k=1)^∞〖（2k-1）!!〖[C〗_3^(2k-2) 〖-4C〗_2^(2k-1) 〖-C〗_2^2k]〗
=（C30-4C21- C22）+3（C32-0-0）=（1-8-1）+9=1。
F（5）=∑_(k=1)^∞〖（2k-1）!!〖[C〗_4^(2k-2) 〖-5C〗_3^(2k-1) 〖-C〗_3^2k]〗
=（C40-5C31- C32）+3（C42-5C33-0）+15（C44-0-0）
=（1-15-3）+3（6-5）+15=1。
F（6）=∑_(k=1)^∞〖（2k-1）!!〖[C〗_5^(2k-2) 〖-6C〗_4^(2k-1) 〖-C〗_4^2k]〗
=（C50-6C41- C42）+3（C52-6C43- C44）+15（C54-0-0）
=（1-24-6）+3（10-24-1）+75=1。
【构造相同】因为C_(n-2)^(2k-1)+C_(n-2)^2k（同底相加）=C_(n-1)^2k，所以
（如果选用C_(n-2)^(2k-1)+C_(n-2)^(2k-2)=C_(n-1)^(2k-1)，则上标并没有变成相同）
C_(n-1)^(2k-2)-nC_(n-2)^(2k-1)-C_(n-2)^2k=C_(n-1)^(2k-2)-n（C_(n-1)^2k-C_(n-2)^2k）-C_(n-2)^2k=C_(n-1)^(2k-2)-nC_(n-1)^2k+（n-1）C_(n-2)^2k。
【发掘规律】其中-nC_(n-1)^2k+（n-1）C_(n-2)^2k具有“差分”形式：-（△nC_(n-1)^2k）。
由此想到，将代表项中的另一部分“C_(n-1)^(2k-2)”也表成差分形式，这利用组合数性质即可。
因为C_(n-1)^(2k-2)+C_(n-1)^(2k-1)=C_n^(2k-1)，所以C_(n-1)^(2k-2)=C_n^(2k-1)-C_(n-1)^(2k-1)，所以
C_(n-1)^(2k-2) 〖-nC_(n-2)^(2k-1)-C〗_(n-2)^2k=（C_n^(2k-1)-C_(n-1)^(2k-1)）-（nC_(n-1)^2k-（n-1）C_(n-2)^2k）
=〖[C〗_n^(2k-1) 〖-nC〗_(n-2)^2k]- 〖[C〗_(n-1)^(2k-1) 〖-(n-1)C〗_(n-2)^2k]=p（n）- p（n-1）（因式差分），
其中p（n）=C_n^(2k-1) 〖-nC〗_(n-2)^2k。
这样，∑_(k=1)^∞〖（2k-1）!!〖[C〗_(n-1)^(2k-2) 〖-nC_(n-2)^(2k-1)-C〗_(n-2)^2k]〗
=∑_(k=1)^∞〖（2k-1）!![p（n）- p（n-1）]〗= G（n）- G（n-1）（代表项差分），
其中G（n）=∑_(k=1)^∞〖（2k-1）!!p（n）〗=∑_(k=1)^∞〖（2k-1）!!〖[C〗_n^(2k-1) 〖-nC〗_(n-1)^2k]〗。
【问题转换】至此，问题转化为证明G（n）- G（n-1）=1，即{ G（n）}是公差为1的等差数列。
容易想到，转求G（n）的通项，这可研究特例。
对G（n）=∑_(k=1)^∞〖（2k-1）!!〖[C〗_n^(2k-1) 〖-nC〗_(n-1)^2k]〗，我们有
G（1）=∑_(k=1)^∞〖（2k-1）!!〖[C〗_1^(2k-1) 〖-C〗_0^2k]〗=C11-0=1。
G（2）=∑_(k=1)^∞〖（2k-1）!!〖[C〗_2^(2k-1) 〖-2C〗_1^2k]〗=C21-0=2。
G（3）=∑_(k=1)^∞〖（2k-1）!!〖[C〗_3^(2k-1) 〖-3C〗_2^2k]〗=（C31-3C22）+3[C33-0]=3。
G（4）=∑_(k=1)^∞〖（2k-1）!!〖[C〗_4^(2k-1) 〖-4C〗_3^2k]〗=（C41-4C32）+3[C43-0]=4。
G（5）=∑_(k=1)^∞〖（2k-1）!!〖[C〗_5^(2k-1) 〖-5C〗_4^2k]〗=（C51-5C42）+3（C53-5C44）+5×3[C55-0]=5。
【猜想】对任何正整数n，有G（n）=n，即∑_(k=1)^∞〖（2k-1）!!〖[C〗_n^(2k-1) 〖-nC〗_(n-1)^2k]〗=n。
为证明此猜想，仿上对和式中代表项进行变形。
【构造相同】将C_n^(2k-1)、C_(n-1)^2k的上标变为相同。
因为C_n^(2k-1)+C_n^2k（同底相加）=C_(n+1)^2k，所以C_n^(2k-1)-nC_(n-1)^2k=C_(n+1)^2k-C_n^2k-nC_(n-1)^2k。
G（n）= ∑_(k=1)^∞〖（2k-1）!!〖[C〗_n^(2k-1) 〖-nC〗_(n-1)^2k]〗=∑_(k=1)^∞（2k-1）!![C_(n+1)^2k-C_n^2k-nC_(n-1)^2k]
=H（n+1）- H（n）-n H（n-1），其中H（n）=∑_(k=1)^∞〖（2k-1）!!C_n^2k 〗。
至此，问题转化为H（n）=∑_(k=1)^∞〖（2k-1）!!C_n^2k 〗满足以下递归关系：
H（n+1）= H（n）+n H（n-1）+n。
注意，H（n）=∑_(k=1)^∞〖（2k-1）!!C_n^2k 〗具有明显的组合意义：其中C_n^2k是n个数中取2k个数的组合数；而（2k-1）！！则是2k个数平均分成k组的方法数。由此想到构造如下的组合模型。
【组合模型】考虑如下问题：将n个人分成若干个组，每组1或2人。求所有不同的分组方法数J（n）。
由目标和式中代表项的组合意义，想到采用两种方式计算J（n）（捆绑计算与分散计算）。
【捆绑计算】称两个人的组为对子，从对子出发计算J（n）。
如果不含对子，则有唯一方法。
下设含有k个对子（k≥1）。选取k个对子中的2k个元素有Cn2k种方法，将2k个元素分为k个对子有（C2k2C2k-22…C22）/k! =（2k）!/（2kk!）=（2k-1）！！种方法。所以含有k个对子的分组方法数为（2k-1）!!C_n^2k（n≥2）。
所以，J（n）=1+∑_(k=1)^∞〖（2k-1）!!C_n^2k 〗=:1+H（n）。
【分散计算】从元素出发计算J（n）。
当n=2时，不组建对子，有唯一方法；组建对子也有唯一方法，所以J（2）=1+1=2。
当n≥3时，考察某人a所在组的情况，有两种可能。
（1）a所在组有2人，则该组有n-1种取法，剩下n-2人的分组方法数为J（n-2），此时共有（n-1）J（n-2）种方法。
（2）a所在组只有1人，则除a外的n-1人的分组方法数为J（n-2）。
所J（n）= J（n-1）+（n-1）J（n-2）。
【还原】又J（n）= H（n）+1，则
由此得H（n）+1= H（n-1）+1+（n-1）H（n-2）+n-1。
即H（n）= H（n-1）+（n-1）H（n-2）+n-1。
所以H（n+1）= H（n）+nH（n-1）+n，命题获证。
【新写】考虑如下问题：将n个人分成若干个组，每组1或2人。求所有不同的分组方法数J（n）。
如果每个组都是1人，则有唯一方法。下设含有k（k≥1）个组为2人组。选取2k个人有Cn2k种方法，将2k个人平均分为k个组有（C2k2C2k-22…C22）/k! =（2k）!/（2kk!）=（2k-1）！！种方法。所以含有k个2人组的分组方法数为（2k-1）!!C_n^2k（n≥2）。所以，J（n）=1+∑_(k=1)^∞〖（2k-1）!!C_n^2k 〗=:1+H（n）。
另一方面，显然J（2）=1+1=2。当n≥3时，考察某人a所在组的情况。若a所在组有2人，则该组有n-1种取法，剩下n-2人的分组方法数为J（n-2），此时共有（n-1）J（n-2）种方法；若a所在组只有1人，则分组方法数为J（n-1）。所以J（n）= J（n-1）+（n-1）J（n-2）。
又J（n）=1+ H（n），代入得H（n）= H（n-1）+（n-1）H（n-2）+n-1。
所以H（n+1）= H（n）+nH（n-1）+n，这样，
n=H（n+1）- H（n）-nH（n-1）=∑_(k=1)^∞（2k-1）!![C_(n+1)^2k-C_n^2k-nC_(n-1)^2k]
=∑_(k=1)^∞（2k-1）!![C_n^(2k-1)-nC_(n-1)^2k]。
令G（n）=∑_(k=1)^∞（2k-1）!![C_n^(2k-1)-nC_(n-1)^2k]，则G（n）- G（n-1）=n-（n-1）=1，化简即F（n）=1，证毕。
（实际上，1=G（n）- G（n-1）
=∑_(k=1)^∞（2k-1）!![C_n^(2k-1)-nC_(n-1)^2k-C_(n-1)^(2k-1)+（n-1）C_(n-2)^2k]
=∑_(k=1)^∞（2k-1）!![C_(n-1)^(2k-2)-n（C_(n-1)^2k-C_(n-2)^2k）-C_(n-2)^2k]
=∑_(k=1)^∞（2k-1）!![C_(n-1)^(2k-2)-nC_(n-2)^(2k-1)-C_(n-2)^2k]。）
