一、怎么判断函数的凹凸性
二阶导数大于零 原函数的凹凸性是凹的。
证明设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么若在(a,b)内f"(x)>0，则f(x)在[a,b]上的图形是凹的。
设x1和x2是[a,b]内任意两点，且x1
由拉格朗日中值公式得f(x0+h)-f(x0)=f'(x0+θ1h)h,f(x0)-f(x0-h)=f'(x0-θ2h)h，其中0<θ1<1,0<θ2<1.
两式相减，得f(x0+h)+f(x0-h)-2f(x0)=[f'(x0+θ1h)-f'(x0-θ2h)]h。
对f'(x)在区间[x0-θ2h,x0+θ1h]上再利用拉格朗日中值公式，得[f'(x0+θ1h)-f'(x0-θ2h)]h=f"(ξ)(θ1+θ2)h^2，其中x0-θ2h<ξ
因为f"(ξ)>0，所以f(x0+h)+f(x0-h)-2f(x0)>0，即[f(x0+h)+f(x0-h)]/2>f(x0)，亦即[f(x1)+f(x2)]/2>f[(x1+x2)/2]，所以f(x)在[a,b]上的图形是凹的。
扩展资料：
在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数。同理可知，如果函数图像在这两点之间的部分总在连接这两点线段的上方，那么这个函数就是凸函数。
如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f''(x)≤0;f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f''(x)≥0.
二、函数的凹凸性怎么判断
讨论二阶导数的正负，若在某区间为正则为凹区间，若在某区间为负则为凸区间。
一般地，把满足[f(x1)+f(x2)]/2>f[(x1+x2)/2]的区间称为函数f(x)的凹区间；反之为凸区间；凹凸性改变的点叫做拐点。
通常凹凸性由二阶导数确定：满足f''(x)>0的区间为f(x)的凹区间，反之为凸区间；
例：求y=x^3-x^4的凸凹区间和拐点。
解：y'=3x2-4x3，y''=6x-12x2；
y''>0，得：0
所以，凹区间为(0,1/2)；凸区间为(-∞,0)，(1/2,+∞)；拐点为(0,0)，(1/2,1/16)；
拓展资料:
函数的定义：
给定一个数集A，假设其中的元素为x。现对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B。假设B中的元素为y。则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示。我们把这个关系式就叫函数关系式，简称函数。函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。
函数最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。
函数的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。
三、如何判断一个函数的凹凸性
这几天看高数的时候也碰到了这个问题，查阅资料之后来作答一下。
首先这个问题要明确一下函数的可导性，于是有以下两种情况：
对于一个函数f(x)，是否存在一个点(x0,f(x0)),既是极值点，又是拐点。
对于一个函数f(x)，是否存在一个点(x0,f(x0)),既是极值点，又是拐点，并且f(x)在x0处可导。
分析1：
对于第一种情况，如果一个点是极值点，并且f(x)在此处可导的话，必有f'(x)=0，如果f(x)在这一点不可导，并且f(x)在这一点连续的话，那么也可以是极值点。
如果一个点是拐点，只需要满足f(x)在这一点两侧凹凸性不一致即可，至于在该点是否可导都可以。拐点处二阶导数如果存在，f''(x)=0，且f''(x)在该点两侧异号，如果拐点处二阶导数不存在，同时f''(x)在该点两侧异号，这一点也是拐点。
考虑极值点与拐点问题的时候，要搞清楚充分条件和必要条件，也就是哪个条件能推出哪个结论，不能颠倒。
通过以上分析，可以知道：如果f(x)在x0处不可导，且连续，而且在这一点的某邻域内，f(x0)小于等于（或者大于等于）f(x)恒成立，就满足了这一点是最值点，同时如果f(x)在x0点两侧凹凸性不一致，那么这一点就是拐点。
也就是说，你提问里面附件图片的那种情况下，x=0确实是极小值点，并且也是拐点，而且x=0这一点不可导，你提问附图的那个分段函数存在x=0，既是极值点，又是拐点。 图片右侧关于拐点说明文字有误，如果一个点是拐点，f''(x)存在的话，则为0，f''(x)不存在的话，并且同时f''(x)在该点两侧异号，这一点也可以是拐点，你觉得例子就是这种情况。
分析2：
对于第二种情况，存不存在一个点，这一点可导，并且既是极值点，又是拐点呢，答案是不存在，具体证明过程涉及到数学分析内容，可以直接记住结论，有兴趣了解证明过程的同学可以看下图内容。
